第 7 题 · 动画讲解

抛物线上动点到两定点距离和的最小值 —— 焦点、准线与"将军饮马"

已知定点 A(2,2)，B(0,2)，点 P 在抛物线 C: y = x²/8 上，则 |PA| + |PB| 的最小值为（　　）　 A. 3　　B. 4　　C. 5　　D. 6
P 的横坐标 x = -6.00
—|PA|
—|PB|（＝P 到准线距离）
—|PA| + |PB|
抛物线 y=x²/8 焦点 B(0,2) 与准线 y=−2 定点 A(2,2) / 线段 PA 动点 P / P 到准线的垂线
答案：B. 4　—— 当 P 取到 (2, 1/2) 时，|PA| + |PB| 取最小值 4。

🧠 解题思路（动画里正在演示）

  1. 抛物线 y = x²/8 化为 x² = 8y，所以 2p = 8，p = 4。
  2. 焦点 F(0, 2)，准线 y = −2。恰有 B(0,2) 就是焦点。
  3. 由抛物线定义：|PB| = P 到准线的距离，动画里那条绿色竖直虚线就代表 |PB|。
  4. 于是 |PA| + |PB| = |PA| + (P 到准线的距离)。两点之间线段最短：它 ≥ A 到准线的距离 = 4。
  5. 取等条件：A、P 与准线上的垂足共线，即 P 的横坐标 = 2 → P(2, 1/2)，此时最小值 4。